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Symétrie, anti-symétrie et rupture de symétrie VII


En tout cas, elle intrigue, et en même temps fascine, cette obstruction à l'existence d'algèbres réelles qui divisent. Notre question à l'avenir sera: Quelle est la capacité des octonions à décrire les modèles fondamentaux de l'univers? Le chemin est encore long, mais nous espérons que la fatigue sera bien compensée par le paysage.

VI Symétrie, anti-symétrie et rupture de symétrie

Il est impossible, sur notre chemin pour décrire les modèles de la nature à travers des octonions, de ne pas s'arrêter à la station Maxwell.

Un champ vectoriel F C'est un ensemble de points dans l'espace où à chaque point il y a un vecteur agissant. Par exemple, à chaque point près de la Terre, il y a le vecteur force gravitationnelle agissant. Cela signifie que si l'on est à ce point, la force gravitationnelle agira sur lui et il tombera vers la Terre si rien ne peut le retenir. La lune, par exemple, tombe, mais en raison de sa vitesse, elle est propulsée dans un mouvement circulaire résultant autour de la terre. Un autre exemple est le champ magnétique près d'un aimant. Ou rappelons-nous qu'un courant électrique produit un champ magnétique autour de son trajet. Une charge électrique produit un champ électrique radial analogue au champ gravitationnel de la Terre.

Michael Faraday, (anglais, 1791 - 1867) a découvert l'induction électromagnétique. La constitution de la matière était un mystère et la relation entre la lumière et l'électromagnétisme était insoupçonnée.

James Clerk Maxwell (écossais, 1831-1879) a publié son célèbre Traité sur l'électricité et l'électromagnétismeen 1873. Maxwell s'est plongé dans la recherche électrique de Faraday et a entrepris de formuler une théorie mathématique de l'électricité et du magnétisme. L'approche mathématique de Maxwell était si brillante qu'elle lui a permis de découvrir théoriquement ondes électromagnétiques. Il a introduit la notion de pourriture rotationnelle F d'un champ vectoriel F.

Gottfried Wilhelm Leibniz (allemand, 1646 - 1716), l'un des découvreurs du calcul différentiel et intégral a vu la dérivation comme un «opérateur D qui agit sur les fonctions ».

Seulement deux cents ans plus tard, le brillant ingénieur anglais Heaviside a découvert que cette idée avait de profondes conséquences pratiques dans la vie humaine en résolvant d'importants problèmes électrotechniques qui ne permettaient pas un traitement par des méthodes de calcul conventionnelles connues à l'époque.

Oliver Heaviside (anglais, 1850 - 1925) a été le premier à faire un usage étendu et efficace de l'opérateur de dérivation. D dans votre célèbre Calcul opérationnel. Heaviside seul a étudié le traité de Maxwell sur l'électromagnétisme et a simplifié les vingt équations de Maxwell en quatre.

Maxwell, qui connaît les mathématiques et la physique, a dévoilé une remarquable antisymétrie mathématique présente dans la nature. Sa capacité mathématique a probablement été le principal facteur qui lui a permis cette découverte géniale. En particulier, Maxwell a utilisé ses propres idées d'analyse vectorielle pour développer son imagination sur le champ électrique. E et le champ magnétique H.

Maxwell a admis que l'un ne vit pas sans l'autre mais, étonnamment, obéit à une relation mathématique simple et à une antisymétrie parfaite. L'un ou l'autre peut varier dans le temps, mais il peut ne pas varier du tout. Ils ne peuvent varier que conditionnés les uns sur les autres. En d'autres termes, la vitesse de chacun est étroitement liée à l'autre.

La surprise est la forme mathématique qui les relie au fil du temps. Donc, quand le champ électrique E varie, votre vitesse ¶Et - ou son taux de variation temporelle instantanée - n'est pas le double, ni la moitié, ni même une fraction, ni même un multiple de l'autre.

Maxwell a déchiffré le puzzle avec la notion de rotation d'un champ vectoriel. La vitesse de l'un est un multiple de la rotation de l'autre. Ainsi, ¶Et est un multiple de pourriture rotationnelle H du champ magnétique H. Et, chose étonnante, le facteur requis par la nature n'est rien de plus, rien de moins que la vitesse. c de la lumière! C'est à dire

Et = c pourrir H.

Nous ne nous soucierons pas pour l'instant de la précision de la formule de rotation, car il suffit de connaître sa perpendicularité par rapport au vecteur H.

Imaginez le vecteur H comme une force encerclant la circonférence C d'un petit disque S. Autrement dit, à chaque point de C avoir un vecteur H représentant le champ magnétique. Une visualisation très utile est celle d'une flèche sortant du point d'application du vecteur. Lorsque le point glisse sur la circonférence C cette flèche change, mais sans changements brusques. En langage mathématique ça change en continu. Si nous projetons la flèche H sur la tangente à C à chaque point d'application de Halors nous avons la composante tangentielle de H qui travaille sur le chemin C.

Le travail t accompli par cette force tangentielle la C ça s'appelle circulation de H dans C. Si nous divisons ce travailt à travers la zone du petit disque Salors nous aurons la densité de circulation par m2.

En fait, nous supposons que le rayon du disque tend vers zéro, et donc, à la limite, nous obtenons une quantité appelée projection perpendiculaire de pourriture. H. La projection perpendiculaire du vecteur de pourriture H est appliqué au centre des disques S et est donc perpendiculaire aux vecteurs H qui circulent autour de ses circonférences, et son amplitude, ou intensité, est la densité de circulation de H. Pour savoir si la composante perpendiculaire du vecteur de pourriture H pointe vers le haut ou le bas du disque, pensez à la règle de la main droite, c'est-à-dire pensez que H avoir la direction des quatre doigts de votre main droite et cette pourriture H c'est le pouce qui leur est perpendiculaire.

Si H circulaire à la frontière C d'une surface S dans l'espace, comme une demi-sphère, c'est-à-dire comme la moitié d'une peau d'orange, alors le travail effectué par la force C, est exactement le débit de pourriture H à travers S. La composante perpendiculaire de la flèche de pourriture H percer les petits disques S formant perpendiculairement un écoulement.

Une fois comprise la notion de pourriture Hon peut imaginer une surface S ayant des vecteurs H tourner en rond à votre frontière C et les projections perpendiculaires à S des vecteurs de pourriture H traversant S. La quantité de ce flux est exactement la quantité de travail donnée par la circulation de H dans C. C'est ce qui garantit le célèbre théorème de Stokes. Cependant, la projection perpendiculaire à S vecteur de pourriture H à un point particulier est juste la densité de circulation par m2 de H autour de ce point.

Par exemple, imaginez S comme la section transversale d'un fil cylindrique et C comme la circonférence de S. Dans ce cas, H circule dans la paroi du cylindre tandis qu'un courant électrique traverse le fil avec exactement le même sens de rotation. H. Autrement dit, la composante tangentielle de la flèche H glisse sur C toujours tangente à elle et la flèche de pourriture H est parallèle au vecteur de courant électrique je.

Maxwell a imaginé que lorsque le champ magnétique varie dans le temps, sa vitesse de variation temporelle instantanée est liée au champ électrique et se comporte de manière surprenante de manière antisymétrique, par exemple, par rapport à ce qui est arrivé à la vitesse. de variation temporelle instantanée du champ électrique E.

C'est à dire

Ht = - c pourrir E,

formule connue sous le nom de loi de Faraday, tandis que:

Et = c pourrir H,

formule connue sous le nom de loi d'Ampère. Ces noms sont dus aux découvertes expérimentales des grands scientifiques Faraday et Ampère dans leurs laboratoires. Cependant, les formulations mathématiques ci-dessus sont de Maxwell et simplifiées par l'ingénieur anglais Heaviside.

Pourrait-on imaginer plus de simplicité et de beauté que cela? Qui veut que vous soumettiez votre proposition.

Plus frappant encore est le fait que la nature se comporte selon les opérations algébriques possibles avec ces vecteurs.

Le taux de variation instantané de la densité de flux électrique est donné par le divergent de E. Sans avoir à énoncer la formule div E, nous nous souvenons qu'une telle opération a la propriété suivante:

div rot F = 0

pour tout champ vectoriel F qui admet au moins la dérivée seconde. On pourrait dire intuitivement ici que F a "accélération" comme prévu de "choses présentes dans la nature". Nous avons donc:

div (¶Et) = c div (pourriture H) = 0.

Notez l'algèbre vectorielle qui travaille ici, c'est-à-dire la position de changement de div avec la constante c. De plus, div déplace également les positions avec la dérivation, c'est-à-dire que nous pouvons d'abord calculer le div de E puis la vitesse ¶_ / ¶t. Donc, le div de vitesse ¶Et est identique à la vitesse ¶_ / ¶t de div E:

¶ (div E)/¶t = div (¶Et) = c div (pourriture H) = 0.

Par conséquent, nous concluons des équations de Maxwell que ¶ (div E)/¶t = 0. Cela signifie que le

vitesse ¶_ / ¶t de div E est zéro, c'est-à-dire que le div E il ne varie pas dans le temps et est donc au point mort. Qui est arrêté ne peut toujours avoir que la même valeur ou une valeur constante. Cela signifie div E = K = constant.

Si un champ électrique a zéro divergent à tout moment, c'est-à-dire que si div E = 0 pendant un certain instant t, il sera donc toujours nul après cela car il doit être constant selon la dernière équation ci-dessus.

Pour continuer d'apprécier la station Maxwell, nous devrons nous inspirer d'une petite partie des travaux de l'un des trois plus grands génies des mathématiques: Carl F. Gauss. C'est ce que nous ferons dans la colonne suivante.

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