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Symétrie en mathématiques II


Il est intéressant de considérer les points de la ligne euclidienne (la ligne de géométrie que vous connaissiez au primaire) comme des nombres. Cette invention fut à l'origine d'une grande révolution dans les mathématiques du XVIIe siècle. C'est la fameuse idée de coordonnées cartésiennes. Avec lui, nous pouvons penser à des problèmes géométriques en utilisant des nombres et donc l'algèbre. Les points de la ligne euclidienne deviennent, de ce point de vue, des éléments d'une structure algébrique: c'est la structure très importante des nombres réels. En fait, nous pouvons étudier les points de la ligne euclidienne, par exemple, comme structure algèbre ou structure corporelle (nous n'aurons pas besoin dans cet article de la définition du corps). Dans la colonne précédente, nous avons mentionné le problème de savoir s'il y aurait des «trous» entre deux nombres réels ou, de manière équivalente, s'il y aurait des «espaces vides» entre deux points de la ligne euclidienne. Tout étudiant sérieux en mathématiques est confronté à ce problème s'il est, bien entendu, en contact avec de bons livres sur l'analyse mathématique. Les bons livres mettent de l'ordre dans les idées importantes et donnent un traitement compétent à leur clarification et à leur justification logique. Ici, nous continuerons d'exposer certaines de ces idées d'un point de vue intuitif et informel.
Le besoin humain de «voir» la symétrie dans les idées et les concepts conduit à une tentative de «combler» les vides possibles qui peuvent exister entre deux nombres réels, disons «en horreur du vide». Les mathématiciens de la fin du XIXe siècle, comme Dedekind, ont trouvé une justification à l'absence d'espaces vides entre deux nombres réels. Imaginons maintenant la ligne euclidienne comme la vraie ligne numérique.
Si les points sont aussi des nombres, il est inévitable de se demander quelles relations algébriques ces nombres satisfont. Par exemple, comme nous l'avons déjà noté, Pythagore a été confronté à une solution de l'équation x2 - 2 = 0, la racine carrée de 2, et a découvert le problème de la "façon d'accommoder" ce point sur la ligne euclidienne, mais pas du point de vue de Descartes. mille ans plus tard, qui «supposait» clairement que chaque point correspondait à un seul chiffre et que chaque chiffre correspondait à un seul point de la ligne euclidienne. Pythagore n'aurait pas, par exemple, le côté gauche de la ligne parce qu'il ne connaissait pas les nombres négatifs. Mais Pythagore n'a pas trouvé sur la ligne euclidienne un point pour représenter la mesure hypoténuse d'un triangle rectangle dont les colliers mesuraient 1. Algébriquement parlant, le problème était de savoir quel type de nombre résoudrait l'équation x2 - 2 = 0. Avec l'achèvement de Ligne droite numérique obtenue par Dedekind, on ne peut que demander, naturellement, quelles équations sont résolues par cette complétion et lesquelles ne le sont pas. On se souvient immédiatement de l'équation x2 + 1 = 0. Il n'y a aucun moyen de trouver un point sur la droite euclidienne pour les solutions de cette équation. Et en parlant de vos solutions, quelles sont vos solutions?
Encore une fois, l'histoire se répète, bien qu'en spirale, et nous sommes maintenant à un niveau supérieur à celui qui nous a amenés à découvrir la symétrie cachée entre deux nombres réels quelconques. La symétrie cachée, qui nous incite maintenant à rechercher à nouveau son identité, peut être justifiée par la question: pourquoi n'y aurait-il pas aussi des «nombres» qui résolvent l'équation x2 + 1 = 0? Dans un souci de «symétrie», il doit y avoir un «espace géométrique» ainsi que l'espace de la ligne euclidienne contenant les «points» qui sont les «solutions numériques» de cette équation.
Quels sont les indices pour poursuivre cette symétrie cachée? L'idée même de symétrie est déjà un indice important. Si nous croyons en l'existence d'un espace ponctuel qui résout symétriquement le problème d'avoir toutes les équations polynomiales ont des solutions numériques, alors commençons par décrire à quoi doit ressembler cet espace. Autrement dit, s'il existe, et s'il a les propriétés que nous «avons besoin» de lui pour satisfaire notre «désir de symétrie», alors ne pouvons-nous plus élire des candidats pour ce poste dans le monde des mathématiques? Vous avez déjà compris que nous nous dirigeons vers un candidat évident: le plan euclidien. Si la ligne euclidienne était capable de représenter les solutions de certaines équations polynomiales, le plan euclidien ne serait-il pas la continuation naturelle de cet espace, et ses points ne seraient-ils pas les «nombres» que nous espérons ardemment résoudre toutes les équations polynomiales?
Historiquement, cela n'a pas été facile. De nombreux grands mathématiciens ont participé à différentes époques de cette saga, évidemment sans avoir le point de vue de la symétrie que nous avons suggérée ci-dessus, de sorte qu'aujourd'hui nous pouvons penser à ce problème d'une manière simple, unifiée et harmonieuse. Où est la racine carrée de -1? Il ne peut pas être sur la ligne euclidienne car là l'espace est complet, plus de points. Sur le plan algébrique, il n'y a aucun moyen de mettre au carré un nombre réel et d'obtenir -1. La nécessité de voir le monde à travers des symétries nous amène à forger un nouvel espace de points qui ne «gâche» pas l'espace que nous avons déjà conquis dans la ligne euclidienne. Le plan euclidien, poursuite de la droite euclidienne dans une «seconde dimension» est donc le candidat naturel.
Si c'est le cas, nous sommes obligés de résoudre certains problèmes. À quoi ressemblera l'ajout de ces nouveaux numéros? À quoi ressemblera leur multiplication? On est amené à supposer qu'ils ont la possibilité d'addition et de multiplication car ils doivent être une "extension" des nombres réels. Il est donc naturel de supposer qu'ils s'ajoutent et se multiplient également. De plus, ces opérations doivent satisfaire les propriétés que les nombres réels satisfont. Ainsi, si nous prenons deux paires de nombres réels pour représenter deux points du plan euclidien, nous serons obligés de conclure que leur somme et leur produit sont donnés par les règles que vous connaissez déjà comme des opérations entre des nombres complexes. La question reste de savoir si cela résout le problème d'avoir chaque équation polynomiale avoir une solution. La réponse à cette question est le célèbre théorème fondamental de l'algèbre, la thèse de doctorat de Gauss: "Chaque polynôme complexe a une racine complexe."
Nous sommes maintenant en possession de deux structures algébriques: l'algèbre des nombres réels (représentée géométriquement par la ligne euclidienne) et l'algèbre des nombres complexes (représentée géométriquement par le plan euclidien).
Pouvez-vous maintenant poser une question suivante très naturelle dans cet ordre logique d'idées: "N'est-ce pas alors que l'espace tridimensionnel euclidien cacherait une symétrie encore plus large"? Ou en d'autres termes: "N'est-ce pas l'espace tridimensionnel d'Euclide, alors une algèbre tridimensionnelle qui étend les propriétés des nombres complexes aux nombres à trois coordonnées"?
Placez vos paris. Le pessimiste pourrait prédire: "La réponse est négative car, comme l'a montré Gauss, les polynômes sont déjà satisfaits des nombres complexes, et plus aucun nombre n'est nécessaire pour les résoudre." L'optimiste pourrait répondre: «Il est étrange que cette symétrie cesse dans la dimension 2; dans la dimension 3, il doit être caché! ».
Et ils pourraient ajouter: "Il est intéressant pour une structure algébrique de satisfaire notre désir de résoudre symétriquement toutes les équations polynomiales, mais à quoi servent toutes ces élucubulations?"

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