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La sixième vérité


Nous savons déjà proliférer les objets du monde des décors. S'il y a un ensemble C, alors il y a une paire {C, C} et donc il y a l'ensemble {C} et donc il y a l'ensemble {C, {C}} et donc il y a l'ensemble… Alors déjà Nous pouvons obtenir «une multitude d'ensembles» en multipliant de nouveaux ensembles à partir d'un seul ensemble.

Maintenant proliférons de nouveaux ensembles "à l'intérieur" d'un ensemble donné. Autrement dit, faisons apparaître de nouveaux ensembles à partir d'un ensemble donné, mais à l'intérieur. C'est l'Axiome 6, l'axiome des parties d'un ensemble qui nous permet d'augmenter la population d'objets dans l'univers mathématique que nous avons jusqu'à présent.

C'est une notion intuitive la notion des parties d'un ensemble. Mais pourquoi pouvons-nous “pense à eux"? C’est précisément le Axiom 6 ce qui nous permet de supposer que les parties d'un ensemble sont des ensembles légitimes pour notre pensée.

Axiom 6
Pour chaque ensemble C, il existe un ensemble P (C) tel que si A est contenu dans C, alors A appartient à P (C).

Par exemple, quelles sont les parties de l'ensemble C = {0, 1, 2, 3}? Puisque l'ensemble vide Æ est contenu dans n'importe quel ensemble, il est donc contenu dans C. Par conséquent, l'ensemble vide Æ est un ensemble qui appartient aux parties de C, c'est-à-dire que Æ appartient à l'ensemble P (C). Eh bien, quels sont tous les autres ensembles qui appartiennent aux parties de C? Énumérons d'abord tous ceux qui n'ont qu'un seul ensemble: {0}, {1}, {2}, {3}. Maintenant, énumérons tous ces ensembles qui ont deux ensembles: {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Maintenant, énumérons tous ces ensembles qui ont trois ensembles: {0, 1, 2}, {0, 2, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}. Enfin, énumérons tous ces ensembles qui ont quatre ensembles: {0, 1, 2, 3}.

Avez-vous remarqué que nous utilisons la notion de "un", "deux", "trois", "quatre" pour résoudre le problème de trouver toutes les parties de l'ensemble C? Admettons, pour l'instant, que nous savons déjà ce que sont ces «entités». Nous verrons bientôt que ces entités ne sont rien de plus que des nombres naturels, c'est-à-dire les premiers nombres qui émergent "naturellement" au début de notre étude d'une théorie des ensembles. Par contre, vous avez pu bien comprendre notre «raisonnement» pour obtenir l'ensemble des parties de l'ensemble C.

Nous avons obtenu «16» parties pour l'ensemble C = {0, 1, 2, 3}. Si notre ensemble C était défini {0, 1, 2, 3, 4}, nous obtiendrions "32" pièces. Savez-vous pourquoi cela? Laissons ce défi à résoudre jusqu'à la colonne suivante: quand un ensemble a n ensembles, alors son ensemble de pièces a le pouvoir 2non c'est-à-dire que le nombre d'ensembles de P (C) est «deux élevés à non" Dans notre exemple, il y aura «deux à cinquième» dans l'ensemble {0, 1, 2, 3, 4}. C'est en calculant cette «puissance» que nous sommes devenus plus à l'aise avec le résultat obtenu dans le cas des seize parties car nous sommes devenus convaincus de n'avoir oublié aucune partie.

Il est intéressant de noter que cette «loi» de puissance pour tester si le nombre de pièces obtenues est correct est également vraie pour le cas extrême de l'ensemble vide. Nous demandons: combien et quelles sont les parties de l'ensemble vide? Réponse: deux augmentés à 0! Mais, d'autre part, on sait facilement que l'ensemble vide ne comporte qu'une seule partie, à savoir la partie vide. C'est pourquoi nous disons que «deux élevés à zéro est un». Mais cela nous amène à un problème intrigant: quelle est la puissance "non élevé à zéro »?

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