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Structures finies de nombres II


Anticipons une des éventuelles critiques qui pourraient être faites à la proposition de notre précédent article. De notre point de vue, c'est la seule critique pertinente admise par la proposition. Mais en fait, une telle critique n'est possible que parce que notre intention était de présenter une idée d'une manière très simple et directe. Aujourd'hui, nous donnerons les détails manquants et nous pensons qu'après cela, il sera très difficile pour quiconque (qui aime les mathématiques et ne veut pas que les enfants soient médiocres) de refuser le chemin des systèmes de nombres finis.
La façon dont nous motivons les systèmes de nombres finis permet la critique suivante: "printemps + 1 = été" n'est pas une équation valide car c'est une somme de quantités non homogènes…! Bien sûr, nous parlons intuitivement et nous ne nous soucions pas de la rigueur du mot «quantité». Mais le fait est qu'il est étrange de penser à la «somme d'une saison avec un nombre pur». Donc, nous faisons ce qui suit: Nous fixons la saison du printemps dans notre réflexion et le signalons à P. Ensuite, nous ne penserons qu'aux saisons qui suivront après quelques périodes. Par exemple, P + 1 = V, où nous n'indiquons que la saison de printemps suivante après une période de trois mois. Cela signifie que nos enfants joueront pour savoir ce qui se passe lorsque nous répétons ce raisonnement. Ils trouveront un tableau très intéressant: P + 1 = V, P + 1 + 1 = O (automne), P + 1 + 1 + 1 = I, P + 1 + 1 + 1 + 1 = P. Avec un peu d'aide de l'enseignant (c'est à cela que l'enseignant est destiné), les enfants "découvriront" que l'imagination "1 + 1 + 1 + 1" produit la même chose que l'imagination "ne rien faire", ou si vous avez besoin de l'aide de l'enseignant, " 1 + 1 + 1 + 1 = 0 ". Ils découvriront qu'ils peuvent jouer avec les symboles "=", "+", "0" et "1". Il n'y a plus le problème de "relier des quantités non homogènes". C'est une belle découverte, pas seulement pour les enfants, disons 11 ans, mais pour toute personne curieuse de mathématiques. L'enseignant peut souligner le beau fait que seuls quatre symboles ont été utilisés dans ce système numérique: "0, 1, +, =". Et il y a une grande opportunité pour l'enseignant de conduire les enfants à travers une expérience très utile avec l'idée de simplification si fondamentale en mathématiques. L'expérience simple "1 + 1", "1 + 1 + 1", conduit immédiatement à un nouveau problème: le besoin de simplification et d'économie dans l'utilisation des symboles et des opérations.
L'un des problèmes majeurs pour les débutants en mathématiques est le problème de s'habituer à l'utilisation des symboles pour les idées. Chaque numéro a besoin d'un symbole différent. L'une des raisons pour lesquelles le système infini de nombres naturels est extrêmement complexe pour les enfants est qu'il a besoin de symboles infinis pour représenter les nombres. L'enfant doit résoudre, entre autres, le problème de savoir comment il pourrait produire ces symboles infinis nécessaires à la représentation des symboles naturels. Ce n'est pas facile et n'a pas été entièrement résolu par l'humanité avant l'an 1000 après JC: c'est le célèbre système de positionnement indo-arabe dont la découverte peut être comparée à la création de l'ordinateur numérique. Le système de positionnement indo-arabe et l'ordinateur numérique ont permis des révolutions profondes dans la connaissance humaine simplement parce qu'ils mettaient à disposition les résultats de calculs compliqués. Le lecteur peut s'en faire une idée très simple en essayant de calculer 13 x 29 en utilisant des chiffres romains.
Dans le cas du système positionnel, l'idée la plus simple qui puisse lui être associée est l'idée de simplifier la représentation des nombres. Autrement dit, comment pouvons-nous simplifier, par exemple, la représentation "1 + 1". Personne n'aura la patience d'écrire "1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +… + 1" tout le temps et devra encore calculer les additions et les multiplications avec ces expressions. C'est, nous osons le dire, le principal problème du professeur de mathématiques au primaire: amener les enfants à incorporer des symboles et à les utiliser dans la représentation des nombres. Mais il y a une difficulté supplémentaire: tout cela doit être fait économiquement et simplement, sinon cela rendra les calculs et les progrès dans l'étude des mathématiques irréalisables. En simplifiant l'expression 1 + 1 = 2, 1 + 1 + 1 = 3, nous aidons l'enfant à résoudre le problème fondamental de la représentation numérique qui, dans le cas des nombres naturels, nécessitera l'ingénieuse solution indo-arabe de système positionnel. Cela permet à l'enfant d'expérimenter tous les principes fondamentaux d'un système numérique de manière simple et de jouer librement avec les généralisations possibles.
Notez que le système "1 + 1 = 2, 1 + 1 + 1 = 3, 1 + 1 + 1 + 1 = 0" ne comporte que six symboles (0, 1, 2, 3, +, =), peut être complètement motivé par le système des saisons, et fournit deux tables mathématiquement très intéressantes avec lesquelles les enfants peuvent jouer jusqu'à ce qu'ils soient fatigués, et lorsqu'ils en ont assez, ils peuvent rechercher les prochains systèmes cycliques de 5, 6, 7, etc., états. Il est important que l'enseignant présente la table de multiplication car la multiplication fait partie de la solution du problème de simplification: 1 + 1 = 2,1, 1 + 1 + 1 = 3,1. Mais cela amène immédiatement un nouveau problème et une découverte importante: les nouveaux symboles 2 et 3 ne pourraient-ils pas également être "ajoutés" et "multipliés"? Il est très important que ce "jeu avec un système fini" ait une fin bien comprise: le cycle des saisons était représenté numériquement, le problème de la représentation numérique d'un système cyclique avec peu d'états possibles a été résolu, le problème a été résolu. le problème de la simplification et de l'économie des symboles et des opérations, et une voie très naturelle de continuation de la pensée s'est ouvert, c'est-à-dire la voie de la représentation de tous les cycles finis possibles. L'enseignant doit s'assurer que les deux tableaux ci-dessous sont pleinement intégrés dans l'expérience de chaque enfant, en s'assurant qu'ils sont capables d'interpréter et d'expliquer comment chaque entrée du tableau a été réalisée. Nous ne voyons qu'une seule façon pour l'enseignant de s'assurer que les enfants ont intégré cette expérience: en vérifiant ce qu'ils seront capables de jouer avec le cycle à cinq états.
Le résultat net de tout cela est un: les enfants se rendront compte que les symboles peuvent être liés à une "grande liberté". C'est la grande leçon de mathématiques, c'est-à-dire que nous n'avons pas à «ramasser les choses avec nos mains pour raisonner sur leurs propriétés». Nous pouvons raisonner à travers des représentations symboliques, mais il y a plusieurs problèmes naturels qui doivent être résolus avant que ces représentations puissent être faites avec succès. Les enfants doivent déjà faire face à ces problèmes lorsqu'ils commencent leur expérience avec les nombres. Et rien de plus naturel que de commencer par les systèmes numériques les plus simples, les systèmes finis.
Le professeur de mathématiques bien informé sait qu'il y a un autre avantage extraordinaire à cette stratégie d'enseignement des mathématiques: les enfants peuvent naturellement commencer par mesurer les symétries, une notion fondamentale de la science contemporaine. Les formes de symétrie les plus simples sont les cycles finis. Les systèmes de nombres finis ne sont que des mesures des symétries les plus simples. Nous ne sommes pas contre l'expérimentation des enfants avec des nombres naturels, mais nous devons garder à l'esprit que ce système représente un cycle infini et, par conséquent, les difficultés à surmonter sont non triviales, mettant en évidence le problème de la génération de symboles infinis. Pourquoi ne pas permettre aux enfants l'expérience précédente de la représentation en cycle fini?

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