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Une vérité importante avant la troisième vérité


En d'autres termes, nous pouvons dire qu'il sera licite de construire un sous-ensemble b de le d'une propriété A (x). Nous écrivons: b = {x Î le: A (x)} et lisez "b est le sous-ensemble de le formé par les ensembles x qui appartiennent à le et qui satisfont la propriété Un”.

Lorsque la théorie des ensembles de chanteurs, appelée théorie des ensembles intuitive, est apparue, il y a eu l'idée que «toute propriété» pouvait être prise en compte afin que les objets qui la satisfaisaient forment un ensemble. Ainsi, il y aura toujours l'ensemble d'ensembles qui satisfont la propriété Un, quelle que soit la propriété Un. Donc, le mathématicien et philosophe Bertrand Russell a fait le raisonnement suivant: considérer l'ensemble des ensembles x qui n'appartiennent pas à eux-mêmes. Pour Russell la propriété Un c'était "x n'appartient pas à x" Il semblait clair que cet ensemble existait, car, par exemple, l'ensemble des nombres naturels n'est pas un nombre naturel et donc l'ensemble des nombres naturels n'appartient pas à lui-même. De nombreux objets mathématiques forment des ensembles qui ne font pas partie de ces objets. Pour donner un exemple en dehors des mathématiques (qui n'a pas de sens car des mathématiques on perd la possibilité de ne parler que des «vérités strictes») pour illustrer un peu plus, le cheval n'est pas un cheval, tout comme un ensemble d'hommes Ce n'est pas un homme.

Faisons comme Russell et appelons M l'ensemble de tous les ensembles. Considérez le sous-ensemble de M formé par des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes. Russell a demandé si M appartient à M. S'il est vrai que M appartient à M, alors M satisfait la propriété qui détermine les ensembles de M, c'est-à-dire que M n'appartient pas à M! Nous arrivons à une contradiction, car un ensemble M ne peut pas appartenir à lui-même et en même temps ne pas appartenir à lui-même. Eh bien, comme le supposaient les philosophes de la Grèce antique, nous ne pouvons pas avoir une affirmation vraie et fausse en même temps, du moins dans une logique qu'ils imaginaient être la bonne. Nous sommes donc obligés de conclure que M n'appartient pas à M. Mais alors M satisfait la propriété qui détermine les ensembles de M. Par conséquent, M appartient à M! Contradiction à nouveau. Cette dichotomie, c'est-à-dire cette affirmation qui est vraie si, et seulement si, est fausse, a provoqué un scandale dans la théorie des ensembles de Cantor. C'est la raison pour laquelle le mathématicien Ernst Zermelo (1871-1956) “créer"La deuxième vérité de Set Theory, qui est l'Axiome ZF (2) ci-dessus.

L'Axiome ZF (2), c'est-à-dire que la seconde vérité de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel nous empêche de construire l'antinomie découverte par Russell. En supposant que cet axiome soit vrai, le raisonnement de Russell présenté ci-dessus n'est plus possible. La raison en est que nous ne pouvons plus construire l'ensemble M de tous les ensembles. Tout simplement parce qu'une propriété seule ne détermine plus un ensemble. Nous devons avoir un ensemble préalable lec'est-à-dire qu'il existe déjà un ensemble le, pour considérer un sous-ensemble d'ensembles qui satisfont une certaine propriété. Par conséquent, nous ne pouvons plus simplement considérer l'ensemble d'ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes. Est-ce que le «ensemble de x qui n'appartiennent pas à eux-mêmes»N'est pas conjoint. Comme l'a dit le mathématicien Paul Halmos, «rien ne contient tout" Nous vous laissons un défi (pensez simplement et calmement…): montrez qu'il découle de la seconde vérité, c'est-à-dire de l'axiome ZF (2)qui il n'y a pas d'ensemble de tous les ensembles. Il est intéressant de noter que, bien que nous n'ayons toujours pas de raison d'exister, nous pouvons déjà démontrer que il n'y a pas d'ensemble de tous les ensembles. Écrivez-le: D'après la théorie que nous avons jusqu'à présent, nous ne savons toujours pas s'il est vrai qu'il existe un ensemble, mais il est déjà vrai que l'ensemble de tous les ensembles n'existe pas!

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