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Deux nouvelles inestimables


La loi de Gauss et l'approche de Maxwell sont toutes deux des conséquences directes d'un point de vue qui cherche à explorer les symétries et les anti-symétries dans la nature et les mathématiques, et les analogies entre elles.
Symétrie, anti-symétrie et rupture de symétrie VIII

La vérité émerge plus facilement de l'erreur que de la confusion.
Francis Bacon, Novum Organum

Nous pourrions explorer davantage le sujet de la symétrie, de l'antisymétrie et de la rupture de symétrie pendant quelques années de plus, à travers le développement mathématique de l'algèbre vectorielle, sans que la fascination inhérente à cela n'érode même une infime partie. L'approfondissement de ce traitement pourrait suivre une trajectoire ascendante vers l'élucidation de l'intimité de la matière et de sa relation avec l'univers observable.

Une façon de réaliser cette idée serait de suivre le livre de Geoffrey M. Dixon, Algèbres de division: Octonions, Quaternions, Complexe Les nombres et la conception algébrique de la physique. Il n'y a que quatre algèbres de division: les nombres réels, les nombres complexes, les quaternions et les octonions. Dixon utilise une structure mathématique récente appelée algèbre de division adjointe, dans laquelle les quatre algèbres de division apparaissent dans le rôle d'espaces de spineurs.

Déchiffrer le sens de ces termes consommerait encore quelques années de notre vie. Dixon estime que cette partie des mathématiques est suffisante pour décrire et démêler la structure de notre réalité physique et, pour le prouver, déduit de ces algèbres une partie du célèbre modèle standard, les leptons et les quarks, particules fondamentales du noyau de l'atome. Comprendre le raisonnement de Dixon est une noble motivation pour la vie humaine. Nous allons modifier temporairement notre itinéraire pour examiner certaines des autres motivations tout aussi nobles qui sont maintenant disponibles.

La plupart des mathématiciens et des physiciens ne peuvent pas se plaindre du manque de motivation à vivre en ce moment historique actuel. Dans le monde de la physique mathématique, il existe un certain nombre de théories belles et profondes, avec un impact encore inconnu sur la vie humaine et la capacité d'Homo sapiens sapiens d'interférer avec la nature. Certains prétendent même que c'est le meilleur moment de l'histoire humaine à vivre en raison du point atteint par le développement des sciences et des technologies, en particulier les mathématiques et la physique, au-delà, sans aucun doute, de l'économie, et du fait que ce point être un formidable tournant technologique.

Nous aimerions sélectionner deux nouvelles inestimables, en particulier celles qui aiment les mathématiques et les cultivent d'une manière ou d'une autre. Le premier concerne la réalisation extraordinaire du mathématicien français Alain Connes et de ses collaborateurs.

Cette nouvelle a été publiée au Scientific American do Brasil (SCIAM) en septembre 2006. Connes attend avec impatience le début du Large Hadron Collider à Genève, en Suisse, pour prouver si oui ou non dans ce laboratoire l'existence de la particule de Higgs. Cette particule est connue des physiciens et des mathématiciens depuis longtemps, mais Connes a déduit son existence de son modèle spatial non commutatif: «Au lieu de rechercher de nouvelles particules, nous développons une géométrie plus subtile, et des raffinements de cette géométrie en génèrent de nouvelles. particules ", a-t-il déclaré au brésilien SCIAM.

Connes avait déjà remporté la médaille Fields, la plus haute distinction dans le domaine des mathématiques à laquelle tout le monde puisse aspirer, pour son travail et surtout pour sa théorie appelée Géométrie non commutative. Il a élaboré au cours des trente dernières années une conception de l'espace non commutatif qui contient toutes les algèbres qui étendent les groupes de symétrie pertinents pour le modèle standard des particules élémentaires: «Ce qui m'intéresse vraiment, ce sont les calculs complexes effectués par les physiciens et testés expérimentalement. J'ai passé vingt ans à essayer de comprendre la renormalisation. Non pas que je ne comprenais pas ce que faisaient les physiciens, mais je ne comprenais pas la signification des mathématiques derrière cela », a-t-il déclaré.

Connes et son collègue, le physicien Dirk Kreimer, ont constaté que l'importante renormalisation pratiquée par les physiciens il y a quelques années pouvait être complètement justifiée en résolvant l'un des 23 problèmes célèbres de Hilbert formulé en 1900 au Congrès de mathématiques de Paris. Avec cela, ces deux utilisateurs qualifiés des mathématiques ont franchi une étape importante vers l'unification de la théorie de la relativité avec la mécanique quantique. Il est indéniable que nous vivons des moments passionnants!

Avec le physicien Carlo Rovelli, Connes a montré que le temps peut naturellement émerger de la non-commutativité des quantités de gravité observables. Quelqu'un pourrait-il imaginer un plus joli théorème que celui-ci? Le temps n'est pas donné à l'avance, ce n'est pas avant toute autre chose. Il apparaît simplement comme une conséquence de l'observation de la gravité.

Ceux qui n'étaient pas impressionnés par la déduction des particules de Higgs, s'ils étaient des êtres rationnels, continueraient-ils à adopter une position léthargique et indifférente face à ce théorème du temps?

Connes rapporte que sa théorie non commutative de la réalité physique est différente de la théorie des supercordes. Ce dernier ne peut être testé directement par aucun laboratoire, construit ou imaginé par Homo sapiens sapiens, à ce stade de la science et de la technologie. Cependant, Connes a prédit la masse de particules de Higgs: 160 milliards d'électrons volts; et déclare que cette prédiction et renormalisation pourraient être testées sur le Grand collisionneur de hadrons.

En fait, c'est une nouvelle inestimable. Au cours des prochaines années, nous pourrons accéder à des publications qui expliquent raisonnablement aux profanes la réalité des particules élémentaires, l'unification de la théorie de la relativité d'Einstein avec la mécanique quantique, et les belles mathématiques des algèbres qui sous-tendent toutes ces symétries, anti- symétries et ruptures de symétrie.

La deuxième nouvelle inestimable, en particulier pour les mathématiciens et les physiciens, concerne l'économie, qui peut sembler quelque peu paradoxale, et que nous diviserons en deux parties.

La première partie est que, après un développement majeur au XXe siècle, on peut constater mathématiquement que la façon dont l'économie produit la richesse a radicalement changé.

Les mathématiques ont contribué fondamentalement à un traitement rigoureux et scientifique de l'économie, en particulier au XXe siècle. En octobre 1990, l'économiste Paul Romer a publié un article présentant un modèle mathématique extrêmement original et courageux de la nature de la croissance économique. Romer a montré mathématiquement qu'après deux cents ans, l'économie du savoir est sortie de l'informalité et d'une position inconfortable à l'arrière de la théorie économique.

Si nous laissons notre imagination voler un instant, il ne sera pas difficile d'associer «économie du savoir» à «développement mathématique accéléré». Ce type d'association n'est pas nouveau. L'apparition du calcul infinitésimal aux 16e et 17e siècles s'est accélérée et l'observation de la nature est devenue «physique» ou «observation de la nature avec connaissance». La même chose pourrait être dite de la "chimie" et de nombreuses autres branches de la connaissance humaine.

À la fin du XIXe siècle, les ingénieurs britanniques aux prises avec des problèmes électrotechniques difficiles liés à la construction de réseaux télégraphiques et électriques ont découvert que bon nombre de ces problèmes pouvaient être formulés mathématiquement et résolus en profitant de la phase de développement du «calcul accéléré». »Et« Physique accélérée ». Dans ce bouillon de culture est apparu Oliver Heaviside avec son énigmatique et brillant "Operational Calculus". Albert Einstein a vu les tenseurs de la géométrie différentielle avec l'aide de son collègue et ami Marcel Grossman, professeur de mathématiques à l'École polytechnique de Zurich. Il existe une histoire très riche d'accélération des connaissances mathématiques impliquant l'accélération d'autres connaissances.

Pourquoi ce phénomène ne se produirait-il pas également par rapport à l'économie?

Si le système complexe d'incitations à la création de nouvelles idées est sous-développé, la société souffre du manque général de progrès autant que lorsque ces incitations sont trop abondantes ou trop limitées.

Le phénomène de retour décroissant a donné sa position fondamentale au phénomène de retour croissant ou de retour abondant. L'axiome de rareté des ressources a en partie cédé la place au nouvel axiome d'abondance des ressources. L'espace de l'économie n'est plus l'espace des personnes et des choses, mais maintenant l'espace des personnes, des choses et des idées. L'abondance des idées tend à générer une abondance de ressources et de biens. Ce troisième élément, représenté par le mot «idées», est la clé pour comprendre une énigme fondamentale de l'économie, celle d'une création de richesse plus rapide et plus grande.

L'idée que l'économie crée de la richesse croît plus rapidement et plus intensément, et de plus en plus abondante, car ses facteurs de production ne sont plus seulement la terre, le capital et le travail, mais aussi les personnes. , les choses et les idées. Ceci est la première partie de la deuxième nouvelle inestimable.

La deuxième partie de la deuxième nouvelle inestimable est qu'à travers une combinaison de la théorie des jeux, une théorie véritablement mathématique, la théorie informatique et la théorie actuelle de l'évolution en biologie, une vision a été développée que l'économie a des processus de une innovation analogue aux processus qui génèrent la diversité dans la biosphère et leur dynamique évolue selon les lois du darwinisme.

De ce point de vue, la façon dont l'économie crée de la richesse serait un processus adaptatif évolutif. Ici, il semble y avoir un paradoxe selon lequel les mathématiques, dans le domaine des équations, deviennent inutiles car les processus évolutifs ne sont pas équables. C'est le thème que nous étudierons et partagerons dans nos prochaines colonnes avec nos lecteurs.

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