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Dérivés des fonctions logarithmiques


Nous allons maintenant obtenir des formules dérivées pour les fonctions logarithmiques et exponentielles et discuter des relations générales entre et dérivées d'une fonction une par une et son inverse.

Le logarithme naturel joue un rôle spécial dans le calcul qui peut être motivé par la différenciation où b est une base arbitraire. Pour cette proposition, nous admettrons ça est différenciable, et donc continue pour x> 0. Nous aurons également besoin de la limite

En utilisant la définition de dérivée, nous obtenons (avec x au lieu de v comme variable).

Alors,

Mais à partir de la formule, nous avons = 1 / 1n b; afin que nous puissions réécrire cette formule dérivée comme

Dans le cas particulier où b = e, nous avons = 1n et = 1, donc cette formule devient

Ainsi, parmi toutes les bases possibles, la base b = e produit la formule dérivée la plus simple pour . C'est l'une des raisons pour lesquelles la fonction de logarithme naturel est préférée à tous les logarithmes dans le calcul.

Exemple 1

Trouver

Solution. À partir de

Lorsque cela est possible, les propriétés du logarithme doivent être utilisées pour convertir les produits, les quotients et les exposants en sommes, différences et multiples de constantes avant de différencier une fonction impliquant des logarithmes.

Exemple 2

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