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Dérivés des puissances rationnelles de x


À partir de l'équation suivante, nous montrons que la formule

est valide pour toutes les valeurs entières de non et pour non = . Nous allons maintenant utiliser la différenciation implicite pour montrer que cette formule est valable pour tout exposant rationnel. Plus précisément, nous montrerons que si r est alors un nombre rationnel

à chaque fois et sont définis. Pour l'instant, nous admettrons, sans preuve que est différenciable.

Soyez y = . Une fois r est un nombre rationnel, peut être exprimé sous forme de rapport entier r = m / n. Alors, y = = peut être écrit comme

Différenciation implicite en ce qui concerne x et en utilisant nous obtenons

De cette façon, il peut être écrit comme

Exemple

À partir de

Si u est une fonction différenciable de x et r est un nombre rationnel, alors la règle de chaîne donne lieu à la généralisation suivante de

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