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Mathématiques et musique: à la recherche de l'harmonie


* Monographie présentée par Larissa Suarez Peres
à l'Université du Grand ABC

1. Introduction: échelles musicales et relations mathématiques

D'un point de vue acoustique, les sons utilisés pour la production musicale (à l'exception des sons de certains instruments à percussion) ont certaines caractéristiques physiques, telles que des oscillations (fréquences) bien définies et la présence d'harmoniques. Dans ce cas, des oscillations bien définies signifient qu'un son musical se produit le plus souvent de manière soutenue (peu ou beaucoup), de sorte que sa caractéristique d'oscillation est maintenue pendant certains ou plusieurs cycles, contrairement au bruit et aux autres sons non musicaux.

En ce qui concerne la présence d'harmoniques, il convient de rappeler que la plupart des sons musicaux ne se produisent pas uniquement dans leur mode de vibration le plus simple (mode fondamental), car ils sont toujours composés de ce mode (fondamental) et d'autres, appelés modes harmoniques, qu'ils ne sont rien de plus que le corps vibrant oscillant également avec des fréquences multiples entières (x2, x3, x4, etc.) de la fréquence du mode fondamental.

Les harmoniques présentes dans un son sont des composants extrêmement importants dans le processus musical, à la fois dans la formation des gammes musicales et dans l'harmonie musicale. En raison de ces caractéristiques naturelles, des sons avec des hauteurs (fréquences) différentes lorsqu'ils sont définis en même temps peuvent créer des sensations auditives esthétiquement différentes.

À première vue, nous pouvons comprendre que deux sons qui maintiennent une relation complète entre les valeurs de leurs fréquences fondamentales entraîneront certainement une sensation auditive naturelle ou agréable, car leurs harmoniques sont en "sympathie" ou "consonance". Dans le cas particulier où la fréquence fondamentale d'un son (f1) est le double de la fréquence fondamentale d'un autre (f2), la première est dite supérieure d'une octave à la seconde (f1 = 2. F2).

Si nous voulons générer deux sons musicaux différents, parfaitement cohérents, ils doivent maintenir un rapport d'octave, où toutes les harmoniques du son le plus fort seront en parfaite harmonie avec le son le plus bas. Cependant, les sons générés simultanément à certains autres intervalles non octaves peuvent produire une sensation agréable à nos oreilles, car ils contiennent également une grande quantité d'harmoniques coïncidentes, qui est en fait la soi-disant cinquième gamme, qui maintient un rapport de 3: 2. .

Bien sûr, si seuls des octaves et des cinquième intervalles étaient utilisés pour créer des sons dans la musique, le résultat serait assez médiocre en raison de la rareté des notes. Ainsi, plusieurs civilisations ont cherché à développer, scientifiquement et expérimentalement, des gammes de fréquences au sein de la gamme d'octaves, avec lesquelles construire leur musique. Ces gammes sont appelées gammes musicales, et il en existe une variété, en fonction de différents critères de définition des notes.

Pause Relation
mardi mineur
mardi
mercredi
Jeudi
sixième mineur
vendredi
octave
6:5 (1,200)
5:4 (1,250)
4:3 (1,333)
3:2 (1,500)
8:5 (1,600)
5:3 (1,667)
2:1 (2,000)

Gammes de consonnes

En plus des huitième et cinquième, d'autres gammes sonores sont également considérées comme esthétiquement conformes par la plupart des auteurs et sont présentées dans le tableau ci-dessus. Il est à noter que les intervalles en question étaient représentés par leurs relations mathématiques par rapport à la relation harmonique. Prenons l'exemple du cinquième intervalle: sa fréquence est égale à la fréquence de la troisième harmonique de la note de référence (trois fois la fréquence de la fondamentale), et est divisée par deux pour abaisser une octave pour y entrer. huitième de la note de référence, d'où le rapport 3: 2.

Les harmoniques d'une note de musique sont précisément ces sons partiels qui composent sa sonorité, et la série harmonique de cette même note est caractérisée par la séquence de ces sons classés de bas en haut. Le son d'un instrument ou d'une voix humaine devient plus brillant plus sa richesse en harmoniques supérieures est élevée, ce qui nous fait attribuer des adjectifs au son produit par certains instruments qui est directement associé à la distribution des harmoniques de ce son.

En ce qui concerne la production et l'utilisation d'harmoniques, les interprètes d'instruments à vent peuvent obtenir les harmoniques suivantes et fondamentales en soufflant plus intensément leurs instruments, tout comme les joueurs de cordes produisent des harmoniques en jouant légèrement une corde aux points appropriés. , ce qui le fait vibrer dans certaines sections associées à l'harmonium à mettre en évidence.

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